Jika \(S_n\) adalah jumlah \(n\) suku pertama dari barisan aritmatika, maka \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{S_{3n}}{S_n} = \cdots \)
- 10
- 9
- 8
- 7
- 6
(Soal UMB-PT 2013)
Pembahasan:
Berdasarkan teorema limit tak hingga diketahui \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{1}{n} = 0 \) dan jumlah \(n\) suku pertama pada barisan aritmatika yaitu \( S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b \), sehingga:
\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \ \frac{S_{3n}}{S_n} &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ \frac{3n}{2}(2a+(3n-1)b) }{ \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{3(2a+3bn-b)}{ 2a+bn-b } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ 6a+9bn-3b }{ 2a+bn-b } \times \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \\[8pt] &= \lim_{n \to \infty} \ \frac{ \frac{6a}{n} + \frac{9bn}{n}-\frac{3b}{n} }{ \frac{2a}{n} + \frac{bn}{n} - \frac{b}{n} } \\[8pt] &= \frac{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{6a}{n} + \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ 9b - \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{3b}{n} }{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{2a}{n} + \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ b - \displaystyle \lim_{n \to \infty} \ \frac{b}{n} } \\[8pt] &= \frac{0+9b-0}{0+b-0} = \frac{9b}{b} \\[8pt] &= 9 \end{aligned}
Jawaban B.